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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ° ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ⁺ ⁻₊ ₋ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹

haber

sen(2x)

∫- - - - - - - ---dx

√(1+sen²x)

apliquemos identidad trigonometrica

sen(2x) =2senxcosx

quedando

. 2senx*cosx

∫- - - - - - - ---dx

√(1+sen²x)

ahora sustitucion

u=√(1+sen²x)

u² =1+sen²x

derivo ambos lados

2u du =2senx*cosx dx

dx= (2u du) /(2senx*cosx)

reemplazando dx en la integral queda

2senx*cosx * 2u du

∫- - - - - - - --- - - - - - -

. .u*(2senx*cosx)

el 2 del numerador se simplica con el 2 del denominador y el senx*cosx se simplifica tanto numerador como denominador quedando

...2u du

∫ - - - - -

. ..u

es más

las u tambien se simplifican quedando

∫2du

2u +C

pero u=√(1+sen²x)

respuesta

2√(1+sen²x) + C

debes resolver el angulo doble del seno y te queda asi

int( (2senx*cosx)/((1+(sen(x))^2)^(1/2)) )

luego usas el metodo de sititucion y haces a 1+(senx)^2 igual a U

y dU sera igual a 2senx*cosx

reemplaza el numerador de la integral por dU, que valen lo mismo, y U lo introduces en la raiz cuadrada del denominador, asi

int(1/(U)^(1/2))

esta integral es igual a

2*(U)^(1/2)

como U la reemplazamos por 1+(senx)^2, reemplazamos

y queda

2*[1+(senx)^2]^(1/2), pero de acuerdo a MATLAB, da

2*[2-(cosx)^2]^(1/2)

sencillio de acuerdo a la identidad trigonometrica (senx)^2+(cosx)^2=1, despejamos (senx)^2

y nos queda

(senx)^2=1-(cosx)^2

vamos a la integral y reemplazamos el valor de (senx)^2

2*[1+1-(cosx)^2]^(1/2)

y queda resultado final

2*[2-(cosx)^2]^(1/2) como la integral de (sen(2x))/raiz cuadrada(1 + sen^2x)