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y = f(x)

(il differenziale si indica con dy o d[f(x)])

se differenziamo la precedente uguaglianza, cioè se se ne calcola di differenziale di ogni membro, si ottiene:

dy = d[f(x)]

ma per definizione d[f(x)] =f '(x) * Δx (Δx = incremento variabile indipendente)

NOTA: se prendiamo ad esempio la funzione y = f(x) = x

f '(x) sappiamo essere uguale ad 1 in questo caso, e

differenziando si ha:

dy = d[x] = 1 * Δx = Δx

abbiamo dedotto che dx = Δx

e quindi nella definizione precedente di differenziale possiamo sostituire ottenendo:

dy = d[f(x)] =f '(x) * dx

vediamo adesso come si trova il differenziale nel processo di integrazione durante il metodo di sostituzione.

prendiamo l'integrale indefinito ∫ f(x) dx

quando tu applichi il metodo di sostituzione essenzialmente

definisci una funzione x = g(t) e la sostituisci nell'integrale.

[ricordando che le variabili sono mute, cioè le lettere che gli assegno non sono rilevanti]

∫ f[ g(t) ] dx

ma ci viene impossibile integrare una funzione che dipende da una variabile t rispetto all'incremento di un'altra variabile; ci occorre quindi trovare l'incremento dt rispetto a dx.

si differenziano così membri della precedente equazione x = g(t)

d(x) = d[ g(t) ] = g'(t) dt

sostituendo...

∫ f(x)dx = ∫ f[ g(t) ]*g'(t)dt (con x = g(t) )

Mi sono dilungato anche troppo.. basta teoria.. ci vuole un esempio :D

prendiamo un integrale immediato e risolviamolo per sostituzione:

∫ 1/[2√x] dx (1 fratto 2radice di x)

prendiamo

t = √x quindi

x = t^2 e differenziando

dx = 2t*dt

∫ 1/(2t) * 2t dt = ∫ 1 dt = t

ma t è uguale a √x, quindi

∫ 1/[2√x] dx = √x

Wow spero almeno di essere stato chiaro...

Ciao ciao :)

io ho sempre fatto così:

supponiamo di voler calcolare l'integrale di x(x^2+1)

INT[x(x^2+1)]dx

Poniamo (anche se il calcolo è immediato) t=x^2+1

allora dt=2xdx (ho derivato x^2+1 rispetto ad x) da cui

dx=dt/(2x)

Ritorniamo all 'integrale

INT[x(x^2+1)]dx=INT[x*t*dt/(2x)]= semplificando=INT [1/2*t dt]=

1/4 t^2+c= ritorniamo alla variabile x = 1/4 (x^2+1)^2+c

differenziale = derivata[f(x)] * delta(x)

se devi fare il cambio di variabile isoli la x (cioè x=la tua funzione che devi sostituire) e ne fai la derivata.

differenziale = derivata[f(x)] * delta(x)

cioè la derivata della funzione per l'incremento.

quando tu passi dalla variabile in x a quella in t devi moltiplicare l'integrale per la derivata del valore ke è x nei confronti di t...

esempio se tu poni t = x^2 avrai ke x = Vt quindi tu dovrai moltiplicare la funzione per la derivata di Vt.

chiaro?