Si tratta essenzialmente di trovare tutti quei vettori appartenenti allo spazio vettoriale di partenza (il cui numero può andare da 0, a 1 a svariati gradi di infinito) i cui trasformati siano proprio il vettore (-1,1,-2).
In generale, data una trasformazione lineare e la matrice ad essa associata, occorre studiare la compatibilità di tale matrice usando come colonna dei termini noti proprio le componenti del vettore di cui si vuole cercare la controimmagine.
Per esempio, data la trasformazione T: R^5 —› R³ di matrice associata (la invento sul momento):
( 0 1 3 5 8 )
( 3 1 2 1 1 )
( 0 0 0 3 5 )
Per trovare la controimmagine (se c'è) del vettore (-1,1,-2) occorre studiare il sistema:
( 0 1 3 5 8 | -1 )
( 3 1 2 1 1 | 1 )
( 0 0 0 3 5 | -2 )
E trovare per quali valori questo viene soddisfatto.
Riguardo agli autovalori e gli autovettori: per trovare gli autovalori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale n-dimensionale (la cui matrice associata è quindi quadrata e di ordine n) occorre calcolare il determinante di (x*ID-A), dove ID è la matrice identica di ordine n e A è la matrice associata all'endomorfismo.
Il determinante risulterà un polinomio di secondo grado che può o non può annullarsi: tutti i valori in cui si annulla (le radici del polinomio, insomma) sono gli autovalori.
Per trovare gli autovettori di un determinato autovalore λ basta sostituire λ alla x nella matrice (x*ID-A) e poi calcolare una base di tale spazio vettoriale (che prende il nome di autospazio).
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Si tratta essenzialmente di trovare tutti quei vettori appartenenti allo spazio vettoriale di partenza (il cui numero può andare da 0, a 1 a svariati gradi di infinito) i cui trasformati siano proprio il vettore (-1,1,-2).
In generale, data una trasformazione lineare e la matrice ad essa associata, occorre studiare la compatibilità di tale matrice usando come colonna dei termini noti proprio le componenti del vettore di cui si vuole cercare la controimmagine.
Per esempio, data la trasformazione T: R^5 —› R³ di matrice associata (la invento sul momento):
( 0 1 3 5 8 )
( 3 1 2 1 1 )
( 0 0 0 3 5 )
Per trovare la controimmagine (se c'è) del vettore (-1,1,-2) occorre studiare il sistema:
( 0 1 3 5 8 | -1 )
( 3 1 2 1 1 | 1 )
( 0 0 0 3 5 | -2 )
E trovare per quali valori questo viene soddisfatto.
Riguardo agli autovalori e gli autovettori: per trovare gli autovalori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale n-dimensionale (la cui matrice associata è quindi quadrata e di ordine n) occorre calcolare il determinante di (x*ID-A), dove ID è la matrice identica di ordine n e A è la matrice associata all'endomorfismo.
Il determinante risulterà un polinomio di secondo grado che può o non può annullarsi: tutti i valori in cui si annulla (le radici del polinomio, insomma) sono gli autovalori.
Per trovare gli autovettori di un determinato autovalore λ basta sostituire λ alla x nella matrice (x*ID-A) e poi calcolare una base di tale spazio vettoriale (che prende il nome di autospazio).
nn soìi sa