derivata di arcsin^2 x?
qualcuno me lo sa dire?
perchè l'ho fatto sia come derivata della funzione inversa che come prodotto di due funzioni ma mi vengono due risultati diversi.. non so dove sbaglio :P
Aggiornamento:non è che sai anche come calcolare l'integrale di 1/(x^2 - a^2)?
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La derivata di y=arcsenx è y'=1/√(1-x²).
Da qui i passi sono pochi:
y = arcsen²x
y' = 2 * arcsenx * 1/√(1-x²) = (2arcsenx)/√(1-x²)
——————
∫1/(x²-a²)dx =
(1/a²)∫1/[(x/a)²-1]dx
Poniamo:
x/a = t
x = at
x' = a
Quindi:
(1/a²)∫1/[(x/a)²-1]dx =
(1/a²)∫a/(t²-1)dt =
(1/a)∫1/(t²-1)dt
Scomponiamo:
1/(t²-1) = A/(t+1) + B/(t-1)
1 = At-A+Bt+B
{A+B=0
{B-A=1 -› B=A+1
{A+A+1=0 -› A=-1/2
{B=1/2
Quindi:
1/(t²-1) = -1/[2(t+1)] + 1/[2(t-1)]
Integriamo:
(1/a)∫1/(t²-1)dt =
(1/a)∫-1/[2(t+1)] + 1/[2(t-1)]dt=
(-1/2)log|t+1| + (1/2)log|t-1| =
-[1/(2a)]log|(x/a)+1| + [1/(2a)]log|(x/a)-1| +c
E' la derivata di una funzione composta
y = arcsen²x
t= arcsenx => dt/dx =1/â(1-x²).
y= t² => dy/dt= 2t
la derivata y' è il prodotto delle derivate delle funzioni componenti
y' = 2 arcsenx ·1/â(1-x²) = (2arcsenx)/â(1-x²)
ciaz