Come posso dimostrare che radice di 5 non è razionale?
Grazie
E' abbastanza semplice: la faccio per assurdo.
supponiamo per assurdo che rad5 sia razionale
allora
rad5=a/b per opportuni interi a,b tra loro coprimi (ovver la frazione è ridotta ai minimi termini)
allora a e b non potranno essere entrambi divisibili per 5 (altrimenti la fraz non sarebbe ridotta ai minimi termini)
elevando al quadrato
5b^2=a^2
allora a^2 è divisibile per 5, e quindi anche a
perciò poichè 5 divide a, a=5x
sostiituendo sopra
5b^2=(5x)^2 => b^2=5x^2 perciò 5 divide b^2 e quindi 5 divide b
assurdo, perchè a, b erano stati supposti coprimi.
quindi rad5 è irrazionale.
rad(5)= m/n con m e n primi tra loro.
5=m^2/n^2
5n^2=m^2
Allora m deve essere divisibile per 5, quindi m=5k
5n^2=25k^2
n^2=5k^2.
Allora anche n deve essere divisibile per 5, ma se m e n sono divisibili entrambi per 5 allora non è vero che sono primi tra loro. E quindi si arriva all'assurdo!
______________
Io e La Rouge siamo in sintonia oggi!
Lo dimostri nello stesso modo per cui si dimostra per √2:
Per assurdo ipotizza che esistano a e b primi tra loro (= privi di divisori interi comuni) tali che:
a/b = √5
allora deve essere:
(a/b)² = 5
ossia:
a² = 5b²
e quindi:
a * a = b * b * 5
il che significa che b è multiplo di a il che va contro l'ipotesi iniziale. Pertanto non esistono due interi il cui rapporto dia √5.
Bye
J.
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E' abbastanza semplice: la faccio per assurdo.
supponiamo per assurdo che rad5 sia razionale
allora
rad5=a/b per opportuni interi a,b tra loro coprimi (ovver la frazione è ridotta ai minimi termini)
allora a e b non potranno essere entrambi divisibili per 5 (altrimenti la fraz non sarebbe ridotta ai minimi termini)
elevando al quadrato
5b^2=a^2
allora a^2 è divisibile per 5, e quindi anche a
perciò poichè 5 divide a, a=5x
sostiituendo sopra
5b^2=(5x)^2 => b^2=5x^2 perciò 5 divide b^2 e quindi 5 divide b
assurdo, perchè a, b erano stati supposti coprimi.
quindi rad5 è irrazionale.
rad(5)= m/n con m e n primi tra loro.
5=m^2/n^2
5n^2=m^2
Allora m deve essere divisibile per 5, quindi m=5k
5n^2=25k^2
n^2=5k^2.
Allora anche n deve essere divisibile per 5, ma se m e n sono divisibili entrambi per 5 allora non è vero che sono primi tra loro. E quindi si arriva all'assurdo!
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Io e La Rouge siamo in sintonia oggi!
Lo dimostri nello stesso modo per cui si dimostra per √2:
Per assurdo ipotizza che esistano a e b primi tra loro (= privi di divisori interi comuni) tali che:
a/b = √5
allora deve essere:
(a/b)² = 5
ossia:
a² = 5b²
e quindi:
a * a = b * b * 5
il che significa che b è multiplo di a il che va contro l'ipotesi iniziale. Pertanto non esistono due interi il cui rapporto dia √5.
Bye
J.