Verified answer

a)

lim (x^2+4x+4)/(x^3+6x^2+12x+8) = forma indeterminata del tipo 0/0

x→2

= lim (x+2)^2 / (x+2)^3 = lim 1(x+2) = 1/4

b)

lim (√(x+3)-√(5-x)) / (√(x+1) -√2) = forma indeterminata del tipo 0/0

x→1

Moltiplichiamo e dividiamo per (√(x+3)+√(5-x)) e per  (√(x+1) +√2) ottenendo

= lim {(x+3-(5-x)/[√(x+3)+√(5-x)]} * {(√(x+1) +√2) /(x+1-2)} =

= lim {(2x-2)/[√(x+3)+√(5-x)]} * {(√(x+1) +√2) /(x-1)} =

x→1

= lim 2(x-1)*(√(x+1) +√2) / (x-1)*[√(x+3)+√(5-x)] =

x→1

semplifichiamo (x-1)

= lim 2*(√(x+1) +√2) / [√(x+3)+√(5-x)] = 4*√2 / (2+2) = √2 

x→1

c)

lim [(6x^3-x)/(3x-1) - 2x^2] = forma indeterminata del tipo oo-oo

x→-oo

= lim [(6x^3-x - 2x^2(3x-1)]/(3x-1) =

= lim [2x^2-x]/(3x-1)= dividiamo numeratore e denominatore per x

= lim [2x-1]/(3-1/x) = -oo/3 = -oo 

x→-oo

d)

y = √(x²-4x) * [(x-4)/(x²-4)]^(1/x) 

Dominio.

• √(x²-4x) ⇒ x²-4x≥0 ⇒ x≤0 V x≥4 (il radicando deve essere positivo o al più nullo)

• [(x-4)/(x²-4)]^ ⇒ (x-4)/(x²-4) > 0 ⇒ -2 < x < 2 V x > 4

La base di un'esponenziale deve essere positiva.

Osserviamo che per x=4 il termine esponenziale ha senso perché l'esponente è un numero relativo, quindi va inclusa

le soluzioni del caso è così

⇒ -2 < x < 2 V x ≥ 4

NB. Sono scettico che abbiano incluso x=4 nel dominio anche se di fatto lo è. 

• 1/x ⇒ x≠0

il dominio è l'intersezione degli insiemi precedenti, quindi

Dominio = (-2,0) U 0,2) U [4,+oo) ovvero

 -2 < x < 0 V  0 < x < 2 V x ≥ 4 

e)

y = ln[(x^2+x)/(x^2-3x+2)] * (x^2-4x)^[1/(x^2-4)]

Dominio

• ln[(x^2+x)/(x^2-3x+2)] ⇒ (x^2+x)/(x^2-3x+2) > 0  ⇒

x < -1 V 0<x<1 V x>2

•  (x^2-4x) ⇒ x^2-4x>0 ⇒ x<0 V x>4

Osserviamo che per x=4 il termine esponenziale ha senso perché l'esponente è un numero relativo. La soluzione estesa è

⇒ x<0 V x≥4

• 1/(x^2-4) ⇒ x ≠ ± 2  

Dominio = x < -2 V -2<x<-1 V x≥4

ovvero

(-oo,-2) U (-2,-1) U [4,+oo)