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Derivata direzionale di f(x, y) nella direzione d è il prodotto scalare fra il versore di d e il gradiente di f.

* D(f, d) = (nabla[f]).(vers[d])

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Con i dati dell'esercizio si ha

* f(x, y) = (y^2)*e^(y*x^3)

* nabla[f(x, y)] = {3*(x^2)*(y^3)*e^(y*x^3), y*(y*x^3 + 2)*e^(y*x^3)}

* v = (1, - √3) → |v| = √(1^2 + (- √3)^2) = 2 → vers[v] = v/|v| = (1/2, - √3/2)

* D(f, v) = {3*(x^2)*(y^3)*e^(y*x^3), y*(y*x^3 + 2)*e^(y*x^3)}.{1/2, - √3/2} =

= (3*(x*y)^2 - (√3)*y*x^3 - 2*√3)*(y/2)*e^(y*x^3)

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RISPOSTA #1

(a) Calcolare D(f, v) nel punto (1, - 1).

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* D(f, v)|(1, - 1) = (3*(1*(-1))^2 - (√3)*(-1)*1^3 - 2*√3)*((-1)/2)*e^((-1)*1^3) =

= (√3 - 3)/(2*e)

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RISPOSTA #2

(b) Determinare la direzione w che minimizza D(f, w)|(1, - 1).

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Il versore della generica direzione sia

* (w = (c, s)) & (c^2 + s^2 = 1)

e la generica derivata direzionale

* D(f, w) = {3*(x^2)*(y^3)*e^(y*x^3), y*(y*x^3 + 2)*e^(y*x^3)}.{c, s} =

= (c*3*(x*y)^2 + s*(y*x^3 + 2))*y*e^(y*x^3)

che, valutata in (1, - 1), dà luogo alla funzione F(c, s) da minimizzare

* F(c, s) = (c*3*(1*(-1))^2 + s*((-1)*1^3 + 2))*(-1)*e^((-1)*1^3) =

= (- 1/e)*(3*c + s)

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Applicando il vincolo

* c^2 + s^2 = 1 ≡ (s = ± √(1 - c^2)) & (- 1 <= c <= 1)

* F(c, s) = (- 1/e)*(3*c + s) ≡

≡ F1(c) = - (3*c - √(1 - c^2))/e

oppure

≡ F2(c) = - (3*c + √(1 - c^2))/e

si ha

* min[- (3*c + s)/e | c^2 + s^2 = 1] = il minore dei due possibili minimi =

= min[- (3*c - √(1 - c^2))/e | - 1 <= c <= 1] = F1(1) = - 3/e ~= - 1.1036

oppure

= min[- (3*c + √(1 - c^2))/e | - 1 <= c <= 1] = F2(3/√10) = - √10/e ~= - 1.1633

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QUINDI

* w = (c, √(1 - c^2)) = (3/√10, √(1 - (3/√10)^2)) = (3/√10, 1/√10)