Per trovare le grandezze necessarie a risolvere il problema, analizziamo la sezione del cono fatta perpendicolarmente alla base. In questo modo la figura sarà un triangolo isocele di base 2a e con i lati lunghi b, e al suo interno ci sarà un rettangolo, la cui base misura il doppio del raggio del cilindro inscritto e la cui altezza è pari all'altezza del cilindro h(c).
Vediamo ora di esprimere l'altezza del cilindro in funzione dei parametri noti del cono.
Per farlo indichiamo con x la misura del raggio di base del cilindro, e ci concentriamo su una sola metà del triangolo isoscele.
L'altezza di questo triangolo vale h = rad (b^2 - a^2)
Grazie al confronto tra triangoli simile possiamo scrivere la proporzione:
h : h(c) = a : (a-x)
da cui h(c) = h(a-x)/a = rad(b^2 - a^2) *(a-x)/a
A questo punto posso calcolare il volume del cilindro:
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Per trovare le grandezze necessarie a risolvere il problema, analizziamo la sezione del cono fatta perpendicolarmente alla base. In questo modo la figura sarà un triangolo isocele di base 2a e con i lati lunghi b, e al suo interno ci sarà un rettangolo, la cui base misura il doppio del raggio del cilindro inscritto e la cui altezza è pari all'altezza del cilindro h(c).
Vediamo ora di esprimere l'altezza del cilindro in funzione dei parametri noti del cono.
Per farlo indichiamo con x la misura del raggio di base del cilindro, e ci concentriamo su una sola metà del triangolo isoscele.
L'altezza di questo triangolo vale h = rad (b^2 - a^2)
Grazie al confronto tra triangoli simile possiamo scrivere la proporzione:
h : h(c) = a : (a-x)
da cui h(c) = h(a-x)/a = rad(b^2 - a^2) *(a-x)/a
A questo punto posso calcolare il volume del cilindro:
V(c) = x^2 * pigreco * h(c) = x^2 * pigreco * rad(b^2 - a^2) *(a-x)/a
Per praticità raccolgo tutte le costanti in un'unico numero C = pigreco * rad(b^2 - a^2) * 1/a
Quindi il volume diventa
V(c) = C * x^2*(a-x)
Derivando e ponendo uguale a 0 trovo i valori che massimizzano (o minimizzano) il volume
V'(c) = C * (2ax - 3x^2) = 0
Trovo x=0 e x=2a/3
Evidentemente x=0 porta ad un cilindro degenera in un solo segmento, quindi il valore del raggio che permette di massimizzare il volume è x=2a/3
Calcoliamo ora la superficie laterale e vediamo per quale valore del raggio risulta massima
S(c) = 2*pigreco*x*h(c) = 2*pigreco*x*rad(b^2 - a^2) *(a-x)/a = 2Cx(a-x)
[ho usato di nuovo la costante C indicata prima]
Ora derivo e pongo uguale a 0
S'(c) = 2C*(a-2x) = 0
notiamo che risulta x=a/2
Quindi il valore del raggioc he permette di massimizzare la'rea laterale del cilindro iscritto è a/2
Quindi, dato che i due valori che massimizzano le quantità che ci servono sono diversi, la risposta alla domanda del testo dell'esercizio è no