Qualcuno mi può aiutare con questo problema di geometria lineare?
Data la forma bilineare simmetrica in R^3:
þ (x,y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 + x3y3
1)determinare una base del sottospazio ortogonale a W=L(a) rispetto a þ, dove 'a' è il vettore (2,0,-1) .dire se la base ottenuta è ortogonale rispetto a þ.
2)Determinare l'insieme dei vettori isotropi della forma quadratrica Q asociata a þ. E' un sottospazio vettoriale di R^3 ? (in caso affermativo si richiede la verifica, in caso negativo un controesempio).
3)Classificare e determinare una forma canonica della forma quadratica Q associat a þ, scrivendo esplicitamente la base rispetto alla quale si ha la forma canonica.
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Urgh... spero di ricordarmi come si fanno questi esercizi, l'esame lo avrei anch'io a breve...
La forma bilineare simmetrica è rappresentata da questa matrice A =
||1 1 0 ||
||1 1 0 ||
||0 0 1 ||
1)
Il sottospazio ortogonale a W si trova facendo il prodotto scalare (a, v) dove v = (x, y, z) ed il prodotto scalare è quello esplicitato dalla forma bilineare simmetrica þ.
Dunque l'operazione da fare è trasp(a)*A*v =
trasp([2, 0, -1])*[x+y, x+y, z] = 2x + 2y - z
Quindi una base ortogonale è data da {(1, -1, 0), (1, 0, 2)}
Per vedere se questa base è ortogonale rispetto a þ, basta farne il prodotto scalare tra i due vettori come indicato sopra.
trasp([1, -1, 0])*[1, 1, 2] = 1-1 = 0
Allora si, abbiamo preso una base ortogonale.
2)
Per trovare i vettori isotropi poniamo v = (x, y, z) e calcoliamo trasp(v)*A*v
trasp([x, y, z])*[x+y, x+y, z] =
x^2 + y^2 + 2xy + z^2 = (x+y)^2 + z^2
Allora si vede subito che sono tutti e soli i vettori della forma (1, -1, 0)
Il sottospazio che genera è della forma
{x+y = 0
{z = 0
E' un sottospazio vettoriale e la verifica è immediata.
3) La matrice di Sylvester che rappresenta quella forma bilineare è data da S =
||1 0 0 ||
||0 1 0 ||
||0 0 0||
Ora, per trovare la base, credo che bisogni imporre un sistema per cui trasp(B)AB = S e svolgere i calcoli. Il metodo canonico purtroppo non lo ricordo.
Ciao!
PS sarebbe di grande interesse anche per me se avessi le soluzioni da qualche parte e mi dicessi se ciò che ho detto più o meno sta in piedi.
1) l'ortogonale di a=(2,0,-1) \`e l'insieme dei vettori x tali che þ (x,a)=0, ovvero 2x1+2x2-x3=0. Quindi il sottospazio vettoriale <(1,-1,0),(1,0,2)>.
La base scelta \`e ortogonale.
2) un vettore x \`e isotropo se, e solo se, þ (x,x)=0, ovvero
(x1+x2)^2 + x3^2 =0. Le soluzioni reali formano quindi il sottospazio di equazioni x1+x2=0 ed x3=0, ovvero <(1,-1,0)>.
3) presa la base (1,-1,0), (0,1,0), (0,0,1) [base ortogonale] la forma quadratica assume la forma canonica X2^2 + X3^2.
P.S. non avevo visto nessuna risposta. Se avessi visto la risposta di Genus, me la sarei risparmiata....
Molto interessante, io ho l'esame ma non capisco nulla di questo argomento. Attendo la risposta di qualche illuminato.
tanti auguri