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Vogliamo lo sviluppo si McLaurin della funzione

..._________

³√cos(3x–x²)

di classe C°° in un intorno di x = 0.

Per t → 0

(1) ... cos t = 1 – t²/2 + o(t³)

(2) ... (1 + t)ª = 1 + at + a(a–1)t²/2 + a(a–1)(a–2)t³/6 + o(t³)

in particolare, con a = 1/3,

.......... ____

(3) .. ³√1 + t = 1 + t/3 – t²/9 + 5t³/81 + o(t³)

Suppongo x → 0.

Poiché 3x–x² → 0 posso sostituire t = 3x–x² in (1):

cos(3x–x²) = 1 – (3x–x²)²/2 + o((3x–x²)³) = 1 – 9x²/2 + 3x³ + o(x³)

Poiché – 9x²/2 + 3x³ + o(x³) → 0 posso sostituire t = – 9x²/2 + 3x³ + o(x³) in (3) trascurando t² e t³ poiché danno termini in o(x³):

..._________

³√cos(3x–x²) = 1 + (– 9x²/2 + 3x³ + o(x³))/3 + o((– 9x²/2 + 3x³ + o(x³))³) =

.................. = 1 – 3x²/2 + x³ + o(x³)

ciao