La risposta è sì, però manca un'ipotesi importantissima: la funzione deve essere continua in un insieme compatto, cioè in un insieme chiuso e limitato. Il teorema di integrabilità delle funzioni continue recita infatti:
sia f : D ⊆ Rⁿ → R, D compatto, f continua in D;
allora f è integrabile (secondo Riemann) su D.
L'unica giustificazione che ti posso dare è la dimostrazione del teorema stesso, ma questa dimostrazione è un po' lunga e, soprattutto, richiede l'uso di apici e pedici che il mio office non dispone del tutto, quindi non te la posso proprio riportare qui. Spero cmq di esserti stato abbastanza utile... ciao!
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La risposta è sì, però manca un'ipotesi importantissima: la funzione deve essere continua in un insieme compatto, cioè in un insieme chiuso e limitato. Il teorema di integrabilità delle funzioni continue recita infatti:
sia f : D ⊆ Rⁿ → R, D compatto, f continua in D;
allora f è integrabile (secondo Riemann) su D.
L'unica giustificazione che ti posso dare è la dimostrazione del teorema stesso, ma questa dimostrazione è un po' lunga e, soprattutto, richiede l'uso di apici e pedici che il mio office non dispone del tutto, quindi non te la posso proprio riportare qui. Spero cmq di esserti stato abbastanza utile... ciao!
prendiamo una funzione f continua su [a,b].
l'intervallo [a,b] è compatto quindi in virtù del teorema di heine-cantor f è uniformemente continua su [a,b]
fissato un E (epsilon) >0 esiste allora un d>0 (delta) tale che |f(x)-f(t)|<E per ogni coppia di punti x e t con |x-t|<d
prendi adesso una partizione P di [a,b] tale che ampiezza P<d
sull'intervallo [x_k-1, x_k] per il teorema di Weierstrass esistono t_k e t*_k tali che
m_k=f(t_k) (minimo assoluto) M_k=f(t*_k) (max assoluto) per k=1 to n
ma allora
S(P,f)-s(P,f)= somme _k=1 to n (f(t*_k) -f(t_k))]*delta x_k<E/(b-a)*somme _k=1 to n (delta x_k) =E
ho indicato con S le somme superiori e con s le somme inferiori.
come dovresti sapere questa è una condizione necessaria e sufficiente di riemann integrabilità.
ma allora se f è continua in [a,b], f è anche riemann integrabile in [a,b]