La discussione della gentile Anonima è perfetta per un esame orale dov'è limitato il tempo che la Commissione ti può dedicare perché ci sono altri candidati da esaminare o, se sei l'ultima, perché sono stanchi: quanto più parli e scrivi per rispondere a una domanda, tanto meno tempo resta per fartene altre.

Invece è del tutto inadatta per un esame scritto dove il tempo limitato è il TUO: meno ne impieghi per una domanda più te ne rimane da dedicare alle altre.

---------------

Un metodo spicciativo, per un sistema così piccolo, è di trovarne la soluzione formale e su di essa rispondere ai quesiti.

* (x - y - k*z = 0) & (2*x + y - z = 2) & (k*x + k*y + z = k) ≡

≡ (x = (k - 2)/(k - 3)) & (y = - (k + 2)/((k + 1)*(k - 3))) & (z = k/((k + 1)*(k - 3)))

---------------

"quante soluzioni ci sono?"

Una infinità semplice, per ogni k reale non in {- 1, + 3}: il sistema è parametrico in k.

---------------

"quali sono le soluzioni per k=3?"

Una sola: dichiarare impossibile il sistema per l'azzeramento dei denominatori delle espressioni di (x, y, z).

La matrice A dei coefficienti è

(1,-1,-k)

(2,1,-1) = A

(k, k, 1) 

il cui determinante vale 

detA = -k²+2k+3.

Il determinante sarà nullo per k=-1 V k=3

il rango di A vale 3 per tutti i valori di k reali diversi da -1 e da 3.

Il rango della matrice completa A' al più è 3, r(A') = 3

-) Per k≠-1 & k≠3 

r(A)=r(A') Per Rouché-Capelli il sistema è possibile, inoltre essendo il numero delle incognite n eguale al rango il sistema è determinato, cioè ammette una e una sola soluzione.

-) per k=-1

La matrice dei coefficienti diventa

(1, -1,1)

(2, 1,-1) = A

(-1,-1,1) 

ovviamente il determinante è nullo ma il rango di A è pari a 2. r(A) = 2

Vedi minore prime due righe prime due colonne.Il rango della matrice completa A' risulta essere 3.

Poiché r(A) ≠ r(A') per Rouché-Capelli il sistema risulta impossibile ovvero nessuna soluzione.

-) per k=3

(1, -1,-3)

(2, 1,-1) = A

(3,3,1) 

ovviamente il determinante è nullo ma il rango di A è pari a 2. r(A) = 2

Il rango della matrice completa A' risulta essere 3.

Anche in questo caso r(A) ≠ r(A') quindi per Rouché-Capelli il sistema risulta impossibile ovvero nessuna soluzione.

se lo sapessi te lo direi sorry