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Immagina di avere un insieme composto da un certo numero di elementi; poi immagina di avere tanti insiemi, composti, ciascuno, da un certo numero di elementi. Un oggetto del genere in matematica si chiama "famiglia" di insiemi: è in sostanza un insieme i cui elementi sono degli insiemi (e non dei numeri o degli oggetti di altro tipo). Chiamiamo F la famiglia e f ogni suo elemento (cioè ognuno di quei tanti insiemi).

Supponiamo ora che tu voglia creare un nuovo insieme (chiamiamolo S) secondo il seguente criterio: vuoi passare in rassegna una e una sola volta ogni insieme f di F,e scegliere da ciascun f uno e un solo elemento. Allora S sarà l'insieme di tutti questi elementi scelti da te.

Se il numero di insiemi f è un numero finito allora gli altri assiomi della Matematica sono sufficienti ad assicurarti la "facoltà di scegliere" un elemento da ciascun insieme, mentre se il numero è infinito questo assioma è indispensabile.

Più formalmente, l'idea dell'assioma è che, data una famiglia di insiemi, esiste una funzione che associa ad ogni insieme f della famiglia F un elemento di f; tale funzione si chiama "funzione di scelta" e corrisponde all'atto con cui tu guardi un insieme e ne scegli un elemento.

Se vuoi leggere ti posso dare due classici sull'argomento:

1)Fraenkel, Foundations of set theory (Principi della teoria degli insiemi) - è generale sulla teoria degli insiemi e sui suoi problemi di assiomatizzazione

2)Moore, Zermelo's Axiom of Choice: its Origins, Development and Influence (L'assioma della Scelta di Zermelo: origini, sviluppo e influenze) - chiaro ed esaustivo saggio sul ruolo storico-filosofico, oltre che matematico, dell'assioma di scelta; forse richiede un po' più di competenze con la teoria degli insiemi, quindi potrebbero esserci passaggi non chiari, però è tutto centrato sulla tua curiosità mentre l'altro testo ti fa fare un giro un bel po' panoramico :)

spero di essere stato chiaro..sennò chiedi pure..ciao!