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La media aritmetica, oltre ad essere più intuitiva da capire ed interpretare (te la insegnano alle elementari!), gode di quelle due simpatiche proprietà per le quali 1) annulla la somma degli scarti e 2) minimizza la somma dei quadrati degli scarti. Ciò la rende la base per il calcolo di altri indici più complessi, come la varianza o l'indice di concentrazione.

In compenso la media geometrica, basandosi su prodotti e non su somme, risente di meno della presenza di termini "estremi", ovvero lontani dal gruppo. Ad esempio data la distribuzione: 10, 9, 11, 14, 97 la media aritmetica (28,2) risente della presenza di quel 97 così alto, mentre la geometrica (16,8) da un risultato più vicino a quella che potrebbe essere la moda. Diciamo che la media geometrica fa sì che eventuali picchi anomali nella distribuzione non ne condizionino l'analisi.

Media Geometrica

La media geometrica (semplice) è l'N-esima radice del prodotto di tutti gli N valori.

La media geometrica viene usata soprattutto quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita (anche i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione), adeguatamente modificati.

In questi casi è più corretto usare questo tipo di media al posto di quella aritmetica, perché ha caratteristiche utili in quelle situazioni.

Caratteristiche e limiti

Il principale limite è che non si possono usare valori negativi. Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media aritmetica) sono molto più importanti che valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo, per rendere nulla la media, sia quella semplice che quella ponderata. Va ancora notato che la media geometrica non è altro che la "media di potenza" quando s tende a zero

Media geometrica semplice

Problema: Data una tabella *Tabella1* e il campo *Numero* contenente i valori 10; 15; 12; 13 si vuole calcolare la media geometrica semplice.

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Tabella1

Numero

10

15

12

13

--------

Matematicamente la questione è semplice, si calcola il prodotto dei valori contenuti nella colonna e poi si esegue la radice n, dove n è il numero degli elementi, esempio: Mg = (10 * 15 * 12 * 13)^(1/4)

Nel linguaggio SQL di Access non esiste una funzione di aggregazione che esegue la moltiplicazione dei vari elementi, per risolvere possiamo trasformare le moltiplicazioni in somme e la radice in divisione grazie alle proprietà dei logaritmi.

Log(Mg)=(Log(10)+Log(15)+Log(12)+Log(13))/4

elevando il numero e all'esponente calcolato otteniamo la nostra media geometrica

Mg=Exp((Log(10)+Log(15)+Log(12)+Log(13))/4)

Abbiamo eliminato le moltiplicazioni scomode, quindi possiamo applicare la formula ad una query di Access

SELECT Exp(Sum(Log(Numero))/Count(Numero)) AS MediaG FROM Tabella1

Visto che la sommatoria dei logaritmi diviso il loro numero non è altro che la media aritmetica, possiamo semplificare ulteriormente con la funzione di aggregazione Avg () o Media

SELECT Exp(Avg(Log(Numero))) AS MediaG FROM Tabella1

Media geometrica ponderata

Problema: Data una tabella *Tabella1* con il campo *Evento* contenente i valori 14; 13; 11 e il campo *Frequenza* contenente i valori 2; 3; 5 si vuole calcolare la media geometrica ponderata..

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Tabella1

Evento Frequenza

14 2

13 3

11 5

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Anche in questo caso applicando i logaritmi alla formula della media geometrica ponderata

MGp = (14^2 * 13^3 * 11^5) ^ (1/(2+3+5))

otteniamo

Log(MGp)=(Log(14)*2+Log(13)*3+Log(11)*5)/(2+3+5)

elevando il numero e all'esponente calcolato otteniamo la nostra media geometrica ponderata

MGp=Exp((Log(14)*2+Log(13)*3+Log(11)*5)/(2+3+5))

Adesso applichiamo la formula ad una query di Access

SELECT Exp(Sum(Log(Evento)*Frequenza)/Sum(Frequenza)) AS MediaGp FROM Tabella1

nb. per semplicità ho scritto le formule con la notazione usata nel linguaggio VBA di Office, (avrete notato che usa la funzione Log() e non Ln() per ottenere il logaritmo naturale), comunque, in questo modo con un semplice copia/incolla si possono verificare i vari passaggi nella finesrta immediata dell'editor Visual Basic.

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Pubblicato il 6/3/2006

Sistema operativo: WIN32

Applicazioni: Access 97, Access 2000, Access 2002/XP, Access 2003

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