Nel primo caso, abbiamo una disequazione omogenea di primo grado in sinx e cosx. Si può risolvere in più modi, il migliore è scriverla così:
sinx > -cosx
Dividere tutto per cosx modifica enormemente le soluzioni, poichè la quantità cosx può assumere valori positivi e negativi, per cui il rapporto può cambiare di segno e quindi il senso della disequazione.
Disegnare i grafici sinx e -cosx e individuare gli intervalli nei quali il seno è maggiore del meno coseno. Le soluzioni sono:
0 < x < (3/4)π
(7/4)π < x < 2π
Nel secondo caso le cose si complicano. Il metodo migliore e convertire sinx e cosx in tg(x/2) con le formule parametriche:
t=tg(x/2) =>
=> 2t/(1+t²)+(1-t²)/(1+t²) -1 >0
mcm:
(2t+1-t²-1-t²)/(1+t²) > 0
1+t² è somma di quantità positive => posso toglierlo senza cambiare il segno del rapporto:
2t²-2t < 0 => 2t(t-1) < 0 <=>
t>0
t<1
oppure
t<0
t>1
Il secondo sistema non ha soluzioni, per cui si prende solo il primo che è per valori interni alle radici del polinomio:
0<t<1
0<tg(x/2)<1
La tangente è compresa tra 0 ed 1 quando l'argomento è compreso tra 0 e π/4, soluzione di quando seno e coseno si equivalgono:
0<(x/2)<π/4 => 0<x<π/2
Con periodicità 2kπ poichè la disequazione di base ha funzioni coseno e seno. Infatti se fosse periodica kπ come la tangente, avremmo soluzioni nel terzo quadrante ed è chiaramente impossibile la somma di seno e coseno (negativi nel terzo quadrante) sia maggiore di 1!
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Nel primo caso, abbiamo una disequazione omogenea di primo grado in sinx e cosx. Si può risolvere in più modi, il migliore è scriverla così:
sinx > -cosx
Dividere tutto per cosx modifica enormemente le soluzioni, poichè la quantità cosx può assumere valori positivi e negativi, per cui il rapporto può cambiare di segno e quindi il senso della disequazione.
Disegnare i grafici sinx e -cosx e individuare gli intervalli nei quali il seno è maggiore del meno coseno. Le soluzioni sono:
0 < x < (3/4)π
(7/4)π < x < 2π
Nel secondo caso le cose si complicano. Il metodo migliore e convertire sinx e cosx in tg(x/2) con le formule parametriche:
t=tg(x/2) =>
=> 2t/(1+t²)+(1-t²)/(1+t²) -1 >0
mcm:
(2t+1-t²-1-t²)/(1+t²) > 0
1+t² è somma di quantità positive => posso toglierlo senza cambiare il segno del rapporto:
2t²-2t < 0 => 2t(t-1) < 0 <=>
t>0
t<1
oppure
t<0
t>1
Il secondo sistema non ha soluzioni, per cui si prende solo il primo che è per valori interni alle radici del polinomio:
0<t<1
0<tg(x/2)<1
La tangente è compresa tra 0 ed 1 quando l'argomento è compreso tra 0 e π/4, soluzione di quando seno e coseno si equivalgono:
0<(x/2)<π/4 => 0<x<π/2
Con periodicità 2kπ poichè la disequazione di base ha funzioni coseno e seno. Infatti se fosse periodica kπ come la tangente, avremmo soluzioni nel terzo quadrante ed è chiaramente impossibile la somma di seno e coseno (negativi nel terzo quadrante) sia maggiore di 1!
1) sinx+cosx>0
Osserviamo che
sin(x+π/4)=sinx*cos(π/4)+
+cosx*sin(π/4)=
=√2/2 (sinx+cosx) è molto simile a quella che stiamo trattando, anzi è del tutto equivalente infatti
√2/2 (sinx+cosx)>0 -->
sinx+cosx>0.
Possiamo così risolvere
sin(x+π/4)>0 cioè
0+2kπ<x+π/4<π +2kπ quindi
π/4+2kπ<x<3π/4 +2kπ con k numero relativo.
2) sinx+cosx>1 cioè sinx+cosx-1>0
Applichiamo il metodo precedente il cui nome è "Metodo dell'angolo aggiunto"
2.1 Dividiamo i termini per √(1²+1²)=√2 cioè con la radice della somma dei quadrati dei coefficienti di sinx e cosx. Otteniamo così
sinx/√2+cosx/√2>1/√2 ovvero
√2/2sinx+√2/2cosx>√2/2
osserviamo che √2/2=sinπ/4=cosπ/4 quindi la parte destra equivale alla
sin(x+π/4) e quindi la disequazione si riduce a
sin(x+π/4)>√2/2 ovvero
π/4+2kπ<x+π/4<3π/4+2kπ
2kπ<x<π/2+2kπ con k numero relativo.
sinx+cosx> 0
Dividi tutt per cos x:
sin x/cos x + 1 > 0
tg x > -1
x > artg - 1
Alla stessa maniera...