Come posso procedere?
Considera la funzione f(t)=t^a, dove 0≤t≤1. e a>0.Supponi di voler approssimare meglio f con la norma L_p attraverso la costante c, dove 0<c<1 .
L_p minimizza l'errore nel seguente modo:
E_p(c)=||(t^a -c) ||_p= ( ∫_[0,1] ( |(t^a -c) | )^p )^(1/p) come una funzione di c.
Trova il valore ottimale di c=c_p per p=∞, p=2,p=1 e determina E_p(c_p ) per ciascuno di questi c valori.
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Answers & Comments
La funzione y^(1/p) é crescente
la sua derivata é 1/p y^(1/p - 1) = 1/p * 1/(y^(1- 1/p)) che é positiva
Quindi basterà calcolare il minimo, con c in [0,1], di
S_[0,1] | t^a - c |^p dt e temo che non esista una formula chiusa con p generico
Se p = 1 devi calcolare ( spezzando il valore assoluto per intervalli ) il minimo di
S_[0, c^(1/a)] (c - t^a) dt + S_[c^(1/a), 1] ( t^a - c ) dt =
= [ ct - t^(a+1)/(a+1) ]_[0, c^(1/a)] + [ t^(a+1)/(a+1) - ct ]_[c^(1/a), 1] =
= c * c^(1/a) - c^((a+1)/a)/(a+1) - 0 + 1/(a+1) - c - c^((a+1)/a)/(a+1) + c*c^(1/a) =
= 2c^((a+1)/a) - 2/(a+1) *c^((a+1)/a) - c + 1/(a+1) = 2 a/(a+1) c^(1 + 1/a) - c +
+ 1/(a+1)
la derivata di questa é
2a/(a+1) * (a+1)/a * c^(1/a) - 1 = 2 c^(1/a) - 1
ed é positiva se c^(1/a) > 1/2
per cui il minimo si ottiene per c* = 1/(2^a)
e vale m1 = [2 a/(a+1) [(1/2)^a ]^((a+1)/a) - (1/2)^a + 1/(a+1) ] =
= [2a/(a+1) * (1/2)^a (1/2) - (1/2)^a + 1/(a+1)] =
= [(a/(a+1) - 1)* (1/(2^a)) + 1/(a+1)] =
= [1/(a+1) * (1 - 1/(2^a))]
Se p = 2 invece puoi osservare che (t^a - c)^2 = (c - t^a)^2
il valore assoluto non induce in questo caso uno spezzettamento dell'integrale
e hai S_[0,1] (t^a - c)^2 dt =
= S_[0,1] (t^(2a) - 2c t^a + c^2 ) dt =
= [ t^(2a+1)/(2a+1) - 2c t^(a+1)/(a+1) + c^2 t ]_[0,1] =
= 1/(2a+1) - 2c /(a+1) + c^2 =
= c^2 - 2/(a+1) c + 1/(2a+1)
questa é una parabola il cui minimo assoluto é nel vertice
c* = -B/(2A) = 1/(a+1) che é compreso fra 0 e 1
allora m2 = sqrt [ 1/(a+1)^2 - 2/(a+1)^2 + 1/(2a+1) ] = sqrt ( 1/(2a+1) - 1/(a+1)^2 )
e il radicando, come puoi agevolmente controllare, é sempre positivo per a > 0.
E per p -> oo ?
Dovrebbe essere sup [c in (0,1), t in (0,1)] |t^a - c| = min
ed in questo caso l'intuito suggrisce che il valore ottimo é c* = 1/2 perché solo in
questo caso | t^a - c | non supera 1/2 per nessun t in [0;1].
Se c=/= 1/2, il maggiore fra |0 - c| = c e 1 - c é maggiore di 1/2 e quindi non è il minimo.
Il valore di E_c [p->oo] é allora 1/2.